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2015年浙江公務員考試行測指導：雞兔同籠問題
http://www.ikeluosi.com 2014-09-30 來源：浙江公務員考試網
一、考情分析
雞兔同籠問題在最近江蘇省的公務員考試中還是出現過的，也是考生需要熟練掌握的題型。
二、問題概述
“雞兔同籠”是我國古代的一類有名的算術題，最早出現在《孫子算經》中。閑話插一句，《孫子算經》大約是公元四、五世紀寫的，離現在已經有一千多年的歷史了，這本書是我國有名的《算經十書》里面的一本，大家有興趣可以去看一下。
話題轉回來，《孫子算經》里面有這么一道題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”轉化成為現在的話來說就是：“現在把一群雞和一群兔子關到一起，有個人去數一下，從上面數，發現一共有35個頭，從下面數，發現有94條腿，問有多少只雞，多少只兔子？”
下面我們來介紹兩種方法來解決這個問題。
三、解題方法
（一）假設法
首先我們用一種常規的方法來做做這道題。我們知道，一只雞有2條腿，一只兔子有4條腿，現在一共有35只動物，卻有94條腿，說明雞和兔都是存在的。我們假設所有的動物都是雞，那么35個動物就應該有70條腿，這樣就少了24條腿，對吧？大家可以想一想，這24條腿是從何而來的？原因就出在我們的假設中，我們把所有的動物都看成是雞，而實際上每一只兔子是比雞多了2條腿，這24條腿應該就是因為我們把12只兔子看成了雞，也就是說應該有12只兔子，那雞就應該有35-12=23只。
我們總結一下上面的推導過程，可以知道“設雞求兔”的公式為：
兔頭數=（總足數-2×總頭數）÷（4-2）
雞頭數=總頭數-兔頭數
我們還可以通過假設全部動物是兔子來求。如果所有的動物都是兔子，那么就應該有4×35=140條腿，比已知多了46條腿，我們也可以很明顯看出，這46條腿就是我們把雞算成了兔子的結果，每一只雞多算了2條腿，所以，雞的數量應該是46÷2=23只，兔子的數量為35-23=12只。兩種方法得出來的結果完全一樣。
我們同樣總結一下，“設兔求雞”的公式為：
雞頭數=（4×總頭數-總足數）÷（4-2）
兔頭數=總頭數-雞頭數
大家注意一下這兩組公式，很重要的結論就出來了：
我們如果要求兔的數量，就要把所有的動物假設為雞來求；如果要求雞的數量，那就把所有的動物假設是兔子。也就是說，在雞兔同籠問題中，如果我們要求其中一種東西時，就把所有的東西都當成是另一種東西，這樣就能求出它的數量了。
（二）方程法
也許有同學覺得剛才的假設法很復雜，想起來總是在繞圈子，那么我現在來介紹另外一種簡單明了的方法——方程法。還是上面那道題，我們再來仔細看一下，題目要求的是雞和兔子的數量，那我們簡單的把雞的數量寫成雞，兔的數量寫成兔，也就是說雞+兔=35。現在再來看腿的情況，雞有2條腿，兔有4條腿，那么來算腿的數量，就有2雞+4兔=94。我們現在把兩個方程放到一起：雞+兔=35，2雞+4兔=94，這個方程很容易能夠解出來，大家可以算一下，得到，雞有23只，兔有12只。
用方程法來解這類問題，只需要分別假設出這些東西的數量，然后很容易就能列出二元一次方程組來求解。
四、題型精講
我們現在來看看雞兔同籠問題中常考的幾種情況。
（一）基礎題型：已知頭數和腿數，求各自的數量
這是最基礎的題型，大家可以嘗試著分別用以上兩種方法來試一下。
例題1：在同一個籠子中，有若干只雞和兔，從籠子上看有40個頭，從籠子下數有130只腳，那么這個籠子中裝有兔、雞各多少只？
【答案詳解】方法一，利用假設法。假設全是雞或全是兔，腳的總數必然要多或少，通過腳數與實際數之差，可以知道造成差的原因，于是知道應有多少只兔或應有多少只雞。
設雞求兔：
兔：（130-2×40）÷（4-2）=25
雞：40-25=15
設兔求雞：
雞：（4×40-130）÷（4-2）=15
兔：40-15=25
方法二，利用方程法。設籠子中裝有雞、兔分別為x只、y只，則根據條件可得
x+y=40，2x+4y=130。 解得x=15，y=25。
（二）已知頭數與腿數之差，求各自的數量
這類問題會告訴你，雞和兔子一共有多少只，然后告訴你雞的總腿數比兔多多少，或者少多少，然后讓你來求雞和兔子的數量。大家來看一下這道題，看看應該怎么來做。
例題2：雞與兔共100只，雞的腳數比兔的腳數少28，問雞與兔各幾只？
【答案詳解】方法一，假如再補上28÷2=14只雞，那么雞與兔腳數就相等，每只兔的腳數是每只雞的腳數的2倍，則雞的只數是兔的只數的2倍，所以
兔：（100+14）÷（2+1）=38只，
雞：100-38=62只；
當然也可以去掉兔28÷4=7只，
兔：（100-7）÷（2+1）+7=38只，
雞：100-38=62只。
方法二，任意假設一個數。
假設有50只雞，就有兔100-50=50只。此時腳數之差是4×50-2×50=100，比28多了72，就說明假設的兔數多了、雞數少了。為保持總數是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只（注意不是2）。因此要減少的兔數是：
（100-28）÷（4+2）=12只，
兔：50-12=38只。
雞：50+12=62只。
方法三，方程法。
設雞有x只、兔有y只，則
x+y=100，4y-2x=28，解得x=62，y=38。
（三）“三者同籠”問題
有時候大家覺得兩種動物放在一起還不夠復雜，這時候他們會把三種動物放在一起，然后讓你們來求。大家來看看下面這道題：
例題3：蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現在這三種小蟲共18只，有118條腿和18對翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蟬各幾只？
A.5、5、8 B.5、5、7 C.6、7、5 D.7、5、6
【答案詳解】這是一道三者同籠的“雞兔同籠”問題。首先，蜻蜓和蟬都是6條腿，計算腿的數量時將它們作為一個整體考慮，假設全是6條腿的小蟲，則可知蜘蛛的數量。
蜘蛛有（118-6×18）÷（8-6）=5只，那么蜻蜓和蟬共有18-5=13只。
再假設這13只都是蟬，則可知蜻蜓的數量。
蜻蜓有（18-1×13）÷（2-1）=5只，蟬有13-5=8只。
大家可以看出來，這類問題實際上還是把三種動物轉化成兩種動物來求。
“雞兔同籠”問題的解法一般只適用于兩類不同物體間的關系，而題目中涉及到三類不同的物體時，我們需要找到其中兩類物體的共同點，把他們看成一個整體，從而把三類物體間的關系轉化為兩類物體間的關系。
（四）雞兔同籠問題變形
大家再來看看這幾道題，雖然沒有雞、沒有兔子，但是他們還是雞兔同籠問題。
例題4：有大小兩個瓶，大瓶可以裝水5千克，小瓶可以裝水1千克，現在有100千克水共裝了52瓶。問大瓶和小瓶相差多少個？
A.26個 B.28個 C.30個 D.32個
【答案詳解】此題屬于“雞兔同籠”問題。利用假設法，假設都是裝1千克水的小瓶，則共裝水52千克，現在多裝了100－52=48千克（即總量的差），因為每差5-1=4千克（即單位量的差）就說明有一個大瓶，那么大瓶共有48÷4=12個，小瓶有52－12=40個，兩者相差40－12=28個。
例題5：小明每天必須做家務，做一天可得３元錢，做得特別好時每天可得５元錢，有一個月（３０天）他共得１００元，這個月他有（ ）天做得特別好。
Ａ。２ Ｂ。３ Ｃ。５ Ｄ。７
雞兔同籠問題在最近江蘇省的公務員考試中還是出現過的，也是考生需要熟練掌握的題型。
二、問題概述
“雞兔同籠”是我國古代的一類有名的算術題，最早出現在《孫子算經》中。閑話插一句，《孫子算經》大約是公元四、五世紀寫的，離現在已經有一千多年的歷史了，這本書是我國有名的《算經十書》里面的一本，大家有興趣可以去看一下。
話題轉回來，《孫子算經》里面有這么一道題：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”轉化成為現在的話來說就是：“現在把一群雞和一群兔子關到一起，有個人去數一下，從上面數，發現一共有35個頭，從下面數，發現有94條腿，問有多少只雞，多少只兔子？”
下面我們來介紹兩種方法來解決這個問題。
三、解題方法
（一）假設法
首先我們用一種常規的方法來做做這道題。我們知道，一只雞有2條腿，一只兔子有4條腿，現在一共有35只動物，卻有94條腿，說明雞和兔都是存在的。我們假設所有的動物都是雞，那么35個動物就應該有70條腿，這樣就少了24條腿，對吧？大家可以想一想，這24條腿是從何而來的？原因就出在我們的假設中，我們把所有的動物都看成是雞，而實際上每一只兔子是比雞多了2條腿，這24條腿應該就是因為我們把12只兔子看成了雞，也就是說應該有12只兔子，那雞就應該有35-12=23只。
我們總結一下上面的推導過程，可以知道“設雞求兔”的公式為：
兔頭數=（總足數-2×總頭數）÷（4-2）
雞頭數=總頭數-兔頭數
我們還可以通過假設全部動物是兔子來求。如果所有的動物都是兔子，那么就應該有4×35=140條腿，比已知多了46條腿，我們也可以很明顯看出，這46條腿就是我們把雞算成了兔子的結果，每一只雞多算了2條腿，所以，雞的數量應該是46÷2=23只，兔子的數量為35-23=12只。兩種方法得出來的結果完全一樣。
我們同樣總結一下，“設兔求雞”的公式為：
雞頭數=（4×總頭數-總足數）÷（4-2）
兔頭數=總頭數-雞頭數
大家注意一下這兩組公式，很重要的結論就出來了：
我們如果要求兔的數量，就要把所有的動物假設為雞來求；如果要求雞的數量，那就把所有的動物假設是兔子。也就是說，在雞兔同籠問題中，如果我們要求其中一種東西時，就把所有的東西都當成是另一種東西，這樣就能求出它的數量了。
（二）方程法
也許有同學覺得剛才的假設法很復雜，想起來總是在繞圈子，那么我現在來介紹另外一種簡單明了的方法——方程法。還是上面那道題，我們再來仔細看一下，題目要求的是雞和兔子的數量，那我們簡單的把雞的數量寫成雞，兔的數量寫成兔，也就是說雞+兔=35。現在再來看腿的情況，雞有2條腿，兔有4條腿，那么來算腿的數量，就有2雞+4兔=94。我們現在把兩個方程放到一起：雞+兔=35，2雞+4兔=94，這個方程很容易能夠解出來，大家可以算一下，得到，雞有23只，兔有12只。
用方程法來解這類問題，只需要分別假設出這些東西的數量，然后很容易就能列出二元一次方程組來求解。
四、題型精講
我們現在來看看雞兔同籠問題中常考的幾種情況。
（一）基礎題型：已知頭數和腿數，求各自的數量
這是最基礎的題型，大家可以嘗試著分別用以上兩種方法來試一下。
例題1：在同一個籠子中，有若干只雞和兔，從籠子上看有40個頭，從籠子下數有130只腳，那么這個籠子中裝有兔、雞各多少只？
【答案詳解】方法一，利用假設法。假設全是雞或全是兔，腳的總數必然要多或少，通過腳數與實際數之差，可以知道造成差的原因，于是知道應有多少只兔或應有多少只雞。
設雞求兔：
兔：（130-2×40）÷（4-2）=25
雞：40-25=15
設兔求雞：
雞：（4×40-130）÷（4-2）=15
兔：40-15=25
方法二，利用方程法。設籠子中裝有雞、兔分別為x只、y只，則根據條件可得
x+y=40，2x+4y=130。 解得x=15，y=25。
（二）已知頭數與腿數之差，求各自的數量
這類問題會告訴你，雞和兔子一共有多少只，然后告訴你雞的總腿數比兔多多少，或者少多少，然后讓你來求雞和兔子的數量。大家來看一下這道題，看看應該怎么來做。
例題2：雞與兔共100只，雞的腳數比兔的腳數少28，問雞與兔各幾只？
【答案詳解】方法一，假如再補上28÷2=14只雞，那么雞與兔腳數就相等，每只兔的腳數是每只雞的腳數的2倍，則雞的只數是兔的只數的2倍，所以
兔：（100+14）÷（2+1）=38只，
雞：100-38=62只；
當然也可以去掉兔28÷4=7只，
兔：（100-7）÷（2+1）+7=38只，
雞：100-38=62只。
方法二，任意假設一個數。
假設有50只雞，就有兔100-50=50只。此時腳數之差是4×50-2×50=100，比28多了72，就說明假設的兔數多了、雞數少了。為保持總數是100，一只兔換成一只雞，少了4只兔腳，多了2只雞腳，相差為6只（注意不是2）。因此要減少的兔數是：
（100-28）÷（4+2）=12只，
兔：50-12=38只。
雞：50+12=62只。
方法三，方程法。
設雞有x只、兔有y只，則
x+y=100，4y-2x=28，解得x=62，y=38。
（三）“三者同籠”問題
有時候大家覺得兩種動物放在一起還不夠復雜，這時候他們會把三種動物放在一起，然后讓你們來求。大家來看看下面這道題：
例題3：蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現在這三種小蟲共18只，有118條腿和18對翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蟬各幾只？
A.5、5、8 B.5、5、7 C.6、7、5 D.7、5、6
【答案詳解】這是一道三者同籠的“雞兔同籠”問題。首先，蜻蜓和蟬都是6條腿，計算腿的數量時將它們作為一個整體考慮，假設全是6條腿的小蟲，則可知蜘蛛的數量。
蜘蛛有（118-6×18）÷（8-6）=5只，那么蜻蜓和蟬共有18-5=13只。
再假設這13只都是蟬，則可知蜻蜓的數量。
蜻蜓有（18-1×13）÷（2-1）=5只，蟬有13-5=8只。
大家可以看出來，這類問題實際上還是把三種動物轉化成兩種動物來求。
“雞兔同籠”問題的解法一般只適用于兩類不同物體間的關系，而題目中涉及到三類不同的物體時，我們需要找到其中兩類物體的共同點，把他們看成一個整體，從而把三類物體間的關系轉化為兩類物體間的關系。
（四）雞兔同籠問題變形
大家再來看看這幾道題，雖然沒有雞、沒有兔子，但是他們還是雞兔同籠問題。
例題4：有大小兩個瓶，大瓶可以裝水5千克，小瓶可以裝水1千克，現在有100千克水共裝了52瓶。問大瓶和小瓶相差多少個？
A.26個 B.28個 C.30個 D.32個
【答案詳解】此題屬于“雞兔同籠”問題。利用假設法，假設都是裝1千克水的小瓶，則共裝水52千克，現在多裝了100－52=48千克（即總量的差），因為每差5-1=4千克（即單位量的差）就說明有一個大瓶，那么大瓶共有48÷4=12個，小瓶有52－12=40個，兩者相差40－12=28個。
例題5：小明每天必須做家務，做一天可得３元錢，做得特別好時每天可得５元錢，有一個月（３０天）他共得１００元，這個月他有（ ）天做得特別好。
Ａ。２ Ｂ。３ Ｃ。５ Ｄ。７
【答案詳解】假設每天都得3元錢，那么他一個月應得30×3=90元，而實際得到100元，做得特別好時每天可多得5-3=2元，則這個月有（１００-90）÷（５-３）＝５天做得特別好。
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